微分積分例

$y = (t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t}$

ステップ 1

$f (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 1$ および $g (t) = e^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $t^{3} - 7 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 3.3

$- 7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 7 t^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 3.5

$2$ に $- 7$ をかけます。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 3.6

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + 0)$

ステップ 3.7

$3 t^{2} - 14 t$ と $0$ をたし算します。

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$e^{t}$ に $1$ をかけます。

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

ステップ 4.3.2

$- 7 t^{2} e^{t}$ と $e^{t} (3 t^{2})$ をたし算します。

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ステップ 4.3.2.1

$e^{t}$ を移動させます。

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 3 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

ステップ 4.3.2.2

$- 7 t^{2} e^{t}$ と $3 t^{2} e^{t}$ をたし算します。

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$

ステップ 4.5

$e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$ の因数を並べ替えます。

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} - 14 t e^{t} + e^{t}$

微分積分 例

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