微分積分例

$(x^{2} - 2 x - 1) (\frac{x + 1}{x + 3})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ および $g (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x + 3}] + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 2

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.4.2

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.5

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

ステップ 3.9

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.11

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.13

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.14

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + 0)$

ステップ 3.15

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

ステップ 4.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{0 + 3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

ステップ 4.2.3

$0$ と $3$ をたし算します。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

ステップ 4.2.4

$3$ から $1$ を引きます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$x^{2} - 2 x - 1$ に $\frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

ステップ 4.4.2

$2$ を $x^{2} - 2 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

ステップ 4.4.3

$2 x - 2$ に $\frac{x + 1}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 x - 2) (x + 1)}{x + 3}$

ステップ 4.4.4

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) - 2) (x + 1)}{x + 3}$

ステップ 4.4.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) + 2 (- 1)) (x + 1)}{x + 3}$

ステップ 4.4.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$

ステップ 4.5

$\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + 3)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)}$

ステップ 4.6.2

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

ステップ 4.6.3

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

ステップ 4.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$2$ を $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

$2$ を $2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.1.2

$2$ を $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + ((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x (x + 1) - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.3

$x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.3.1

$x \cdot 1$ と $- 1 x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.3.2

$1 x$ から $1 x$ を引きます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.3.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.4.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 1) (x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.6.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.6.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.6.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.2

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.7

$x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.8

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 1 + x^{3} - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.9

$- 1$ から $3$ を引きます。

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x + x^{3} - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8.10

項を並べ替えます。

$\frac{2 (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例