微分積分例

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 1}{x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{x - 1}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

ステップ 3.8.4

$3$ を $x - 1 - (x + 1)$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x + 1}{x - 1}$ に当てはめます。

$\frac{3 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x - 3 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x - 3 - 3 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.5

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{0 - 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.6

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.7

$- 3$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.9

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ に $\frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.10

指数を足して ${(x - 1)}^{2}$ に ${(x - 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.10.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2 + 2}}$

ステップ 4.4.10.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 4.4.11

$6$ を ${(x + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例