微分積分例

$\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ です。

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

ステップ 1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{3}$ です。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}$

ステップ 3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}$

ステップ 3.5

$\frac{3 + x}{3}$ に $\frac{3 - x}{3}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

ステップ 3.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}$

ステップ 4

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 4.1

$(3 + x) (3 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

ステップ 4.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 4.3

分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

ステップ 5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

微分積分 例

微分積分例