微分積分例

$\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((x - 7) (x + 8)) = 1$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 7) (x + 8)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (x (x + 8) - 7 (x + 8)) = 1$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 (x + 8)) = 1$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

ステップ 1.3.1.2

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (x^{2} + 8 \cdot x - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

ステップ 1.3.1.3

$- 7$ に $8$ をかけます。

$\ln (x^{2} + 8 x - 7 x - 56) = 1$

ステップ 1.3.2

$8 x$ から $7 x$ を引きます。

$\ln (x^{2} + x - 56) = 1$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} + x - 56)} = e^{1}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} + x - 56) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1} = x^{2} + x - 56$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x^{2} + x - 56 = e^{1}$ として書き換えます。

$x^{2} + x - 56 = e$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $e$ を引きます。

$x^{2} + x - 56 - e = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - 56 - e$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 56 - e))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 56 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

$- 4$ に $- 56$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6

$1$ と $224$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

ステップ 5

$\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

10進法形式：

$x = 7.17908079 \dots$

微分積分 例

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