微分積分例

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 2

$1 - 3 x^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ を展開します。

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 3

$\ln (\frac{1}{25})$ を $\ln (1) - \ln (25)$ に書き換えます。

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 5

$\ln (25)$ を $\ln (5^{2})$ に書き換えます。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 6

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{2})$ を展開します。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 8

$0$ から $2 \ln (5)$ を引きます。

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

ステップ 9

$4 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{4 x})$ を展開します。

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

ステップ 10

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 10.1

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ を簡約します。

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ステップ 10.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

ステップ 10.1.2

0を加えて簡約します。

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

ステップ 10.1.3

分配則を当てはめます。

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

ステップ 10.1.4

式を簡約します。

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ステップ 10.1.4.1

$- 2 \ln (5)$ に $1$ をかけます。

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

ステップ 10.1.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

ステップ 10.1.4.3

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $4 x \ln (3)$ を引きます。

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

ステップ 10.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 10.4

$a = 6 \ln (5)$ 、 $b = - 4 \ln (3)$ 、および $c = - 2 \ln (5)$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5

簡約します。

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ステップ 10.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.5.1.1

括弧を付けます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.2

$u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ とします。 $u$ を $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ に代入します。

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ステップ 10.5.1.2.1

積の法則を $- 4 \ln (3)$ に当てはめます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.3

$4$ を $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ で因数分解します。

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ステップ 10.5.1.3.1

$4$ を $16 \ln^{2} (3)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.3.3

$4$ を $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.4

$u$ のすべての発生を $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ で置き換えます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 10.5.1.5.1

指数を足して $\ln (5)$ に $\ln (5)$ を掛けます。

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ステップ 10.5.1.5.1.1

$\ln (5)$ を移動させます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.5.1.2

$\ln (5)$ に $\ln (5)$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.5.2

$- 2$ を $\ln^{2} (5)$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.5.3

$- 2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.5.4

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.6

$4$ を $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ で因数分解します。

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ステップ 10.5.1.6.1

$4$ を $4 \ln^{2} (3)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.6.2

$4$ を $12 \ln^{2} (5)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.6.3

$4$ を $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.7

$4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.8

$16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ を ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ に書き換えます。

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ステップ 10.5.1.8.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

ステップ 10.5.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

ステップ 10.5.3

$\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ を簡約します。

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

ステップ 10.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

10進法形式：

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$

微分積分 例

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