微分積分例

$10^{x + 3} = 5 e^{7 - x}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln (10^{x + 3}) = \ln (5 e^{7 - x})$

ステップ 2

$x + 3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (10^{x + 3})$ を展開します。

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5 e^{7 - x})$

ステップ 3

$\ln (5 e^{7 - x})$ を $\ln (5) + \ln (e^{7 - x})$ に書き換えます。

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + \ln (e^{7 - x})$

ステップ 4

$7 - x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{7 - x})$ を展開します。

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \ln (e)$

ステップ 5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \cdot 1$

ステップ 6

$7 - x$ に $1$ をかけます。

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + 7 - x$

ステップ 7

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$(x + 3) \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

ステップ 7.3

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5)$ を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (10)$ を簡約します。

$x \ln (10) + \ln (10^{3}) - \ln (5) = 7 - x$

ステップ 7.3.1.1.2

$10$ を $3$ 乗します。

$x \ln (10) + \ln (1000) - \ln (5) = 7 - x$

ステップ 7.3.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x \ln (10) + \ln (\frac{1000}{5}) = 7 - x$

ステップ 7.3.1.3

$1000$ を $5$ で割ります。

$x \ln (10) + \ln (200) = 7 - x$

ステップ 7.4

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x \ln (10) + \ln (200) + x = 7$

ステップ 7.5

方程式の両辺から $\ln (200)$ を引きます。

$x \ln (10) + x = 7 - \ln (200)$

ステップ 7.6

$x$ を $x \ln (10) + x$ で因数分解します。

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ステップ 7.6.1

$x$ を $x \ln (10)$ で因数分解します。

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

ステップ 7.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

ステップ 7.6.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x (\ln (10)) + x \cdot 1 = 7 - \ln (200)$

ステップ 7.6.4

$x$ を $x (\ln (10)) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$

ステップ 7.7

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ の各項を $\ln (10) + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.7.1

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ の各項を $\ln (10) + 1$ で割ります。

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

ステップ 7.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.7.2.1

$\ln (10) + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

ステップ 7.7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

ステップ 7.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} - \frac{\ln (200)}{\ln (10) + 1}$

ステップ 7.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

10進法形式：

$x = 0.51525777 \dots$

微分積分 例

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