微分積分例

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1

漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

対数の独立変数を0とします。

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.2

$a = 3$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.2.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.3

$4$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.4

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.7

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 1.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.2.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.3

$4$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.4

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.7

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

ステップ 1.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 1.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 1.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.2.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.3

$4$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.4

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.7

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

ステップ 1.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 1.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 1.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 1.3

垂直漸近線は $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ で発生します。

垂直漸近線： $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

ステップ 2.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$3$ から $2$ を引きます。

$f (1) = \ln (1 + 1)$

ステップ 2.2.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \ln (2)$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $\ln (2)$ です。

$\ln (2)$

ステップ 2.3

$\ln (2)$ を10進数に変換します。

$y = 0.69314718$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

ステップ 3.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

ステップ 3.2.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

ステップ 3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$12$ から $4$ を引きます。

$f (2) = \ln (8 + 1)$

ステップ 3.2.2.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = \ln (9)$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $\ln (9)$ です。

$\ln (9)$

ステップ 3.3

$\ln (9)$ を10進数に変換します。

$y = 2.19722457$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

ステップ 4.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

ステップ 4.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

ステップ 4.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

ステップ 4.2.1.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

ステップ 4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$27$ から $6$ を引きます。

$f (3) = \ln (21 + 1)$

ステップ 4.2.2.2

$21$ と $1$ をたし算します。

$f (3) = \ln (22)$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\ln (22)$ です。

$\ln (22)$

ステップ 4.3

$\ln (22)$ を10進数に変換します。

$y = 3.09104245$

ステップ 5

対数関数は、 $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ における垂直漸近線と点 $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例