微分積分例

$y^{2} - x^{3} = 9$ , $(3, - 6)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = - 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $y^{2} - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y y' - (3 x^{2})$

ステップ 1.2.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 y y' - 3 x^{2}$

ステップ 1.2.4

項を並べ替えます。

$- 3 x^{2} + 2 y y'$

ステップ 1.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 3 x^{2} + 2 y y' = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺に $3 x^{2}$ を足します。

$2 y y' = 3 x^{2}$

ステップ 1.5.2

$2 y y' = 3 x^{2}$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$2 y y' = 3 x^{2}$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

ステップ 1.7

$y = - 6$ と $x = 3$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 y}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $- 6$ で置換えます。

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

ステップ 1.7.3

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.3.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.7.3.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

ステップ 1.7.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3^{1 + 2}}{2 (- 6)}$

ステップ 1.7.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3^{3}}{2 (- 6)}$

ステップ 1.7.4

式を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{27}{2 (- 6)}$

ステップ 1.7.4.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{27}{- 12}$

ステップ 1.7.5

$27$ と $- 12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.5.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 (9)}{- 12}$

ステップ 1.7.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.5.2.1

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

ステップ 1.7.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

ステップ 1.7.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{- 4}$

ステップ 1.7.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{4}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{9}{4}$ と与えられた点 $(3, - 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 6) = - \frac{9}{4} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 6 = 0 + 0 - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 6 = - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} - \frac{9}{4} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{9}{4} \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + 3 (\frac{9}{4})$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{4}$

ステップ 2.3.1.5.3

$3$ に $9$ をかけます。

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{27}{4}$

ステップ 2.3.1.6

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$y + 6 = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6$

ステップ 2.3.2.2

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.3

$- 6$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 6 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$- 6$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 24}{4}$

ステップ 2.3.2.5.2

$27$ から $24$ を引きます。

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{9}{4} x) + \frac{3}{4}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{9}{4} x + \frac{3}{4}$

ステップ 3

微分積分 例

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