微分積分例

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ , $(2, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 1.2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 1.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x y$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 1.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

ステップ 1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

ステップ 1.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

ステップ 1.3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

ステップ 1.5.1.2

方程式の両辺に $9 y$ を足します。

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 1.5.2

$3 y'$ を $3 y^{2} y' - 9 x y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$3 y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 1.5.2.2

$3 y'$ を $- 9 x y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 1.5.2.3

$3 y'$ を $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ で因数分解します。

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 1.5.3

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ の各項を $3 (y^{2} - 3 x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ の各項を $3 (y^{2} - 3 x)$ で割ります。

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.2.2

$y^{2} - 3 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.1

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.3.1.3

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.3.1

$3$ を $9 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 1.5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.5.3.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.5.3.3.2.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.5.3.3.2.3

$- 1$ を $3 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.5.3.3.2.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 3 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.5.3.3.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.2.5.1

$- (x^{2} - 3 y)$ を $- 1 (x^{2} - 3 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.5.3.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 1.7

$y = 4$ と $x = 2$ における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 \cdot 2}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $4$ で置換えます。

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 4}{{(4)}^{2} - 3 \cdot 2}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{4 - 3 \cdot 4}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

ステップ 1.7.3.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$- \frac{4 - 12}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

ステップ 1.7.3.3

$4$ から $12$ を引きます。

$- \frac{- 8}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 8}{16 - 3 \cdot 2}$

ステップ 1.7.4.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{- 8}{16 - 6}$

ステップ 1.7.4.3

$16$ から $6$ を引きます。

$- \frac{- 8}{10}$

ステップ 1.7.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$- 8$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- 4)}{10}$

ステップ 1.7.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.7.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.7.5.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{- 4}{5}$

ステップ 1.7.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{4}{5}$

ステップ 1.7.6

$- - \frac{4}{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{4}{5})$

ステップ 1.7.6.2

$\frac{4}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{5}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $\frac{4}{5}$ と与えられた点 $(2, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{4}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{4}{5} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{4}{5}$ と $- 2$ をまとめます。

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 2}{5}$

ステップ 2.3.1.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8}{5}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 4 = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4$

ステップ 2.3.2.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 2.3.2.3

$4$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 4 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.1

$4$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 20}{5}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 8$ と $20$ をたし算します。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{12}{5}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{4}{5} x + \frac{12}{5}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例