微分積分例

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = x^{2} + 4$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.2.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

ステップ 1.2.6.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

ステップ 1.2.7

簡約します。

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ステップ 1.2.7.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

ステップ 1.2.7.2

項を並べ替えます。

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

ステップ 1.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

ステップ 1.5.2

$y'$ を $x^{2} y' + 4 y'$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

$y'$ を $x^{2} y'$ で因数分解します。

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

ステップ 1.5.2.2

$y'$ を $4 y'$ で因数分解します。

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

ステップ 1.5.2.3

$y'$ を $y' x^{2} + y' \cdot 4$ で因数分解します。

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

ステップ 1.5.3

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ の各項を $x^{2} + 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ の各項を $x^{2} + 4$ で割ります。

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$x^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = 2$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

ステップ 1.7.3

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

ステップ 1.7.3.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 1.7.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.7.4.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 1.7.4.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 1.7.4.2.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.7.4.2.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.7.4.2.4

式を書き換えます。

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.4.3

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{1}{2}$ と与えられた点 $(2, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.5.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{2} + 2$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

ステップ 3

微分積分 例

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