微分積分例

$y = \sqrt{x}$ , $(9, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 9$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.9

$x = 9$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.10.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.10.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.10.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.10.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.10.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

ステップ 1.10.1.4

指数を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.10.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{6}$ と与えられた点 $(9, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

ステップ 2.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

ステップ 2.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例