微分積分例

$y = \frac{18}{x^{2} + 2}$ , $(1, 6)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{18}{x^{2} + 2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ です。

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x^{2} + 2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ に書き換えます。

$18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 2$ とします。

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 2$ で置き換えます。

$18 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ に $18$ をかけます。

$- 18 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $- 18$ をかけます。

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 36 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 36$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.3

$x$ と $\frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.4

$36$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{36 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{36 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$36$ に $1$ をかけます。

$- \frac{36}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{36}{{(1 + 2)}^{2}}$

ステップ 1.6.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{36}{3^{2}}$

ステップ 1.6.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{36}{9}$

ステップ 1.6.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1

$36$ を $9$ で割ります。

$- 1 \cdot 4$

ステップ 1.6.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $- 4$ と与えられた点 $(1, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = - 4 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 4 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 6 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 6 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y - 6 = - 4 x + 4$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = - 4 x + 4 + 6$

ステップ 2.3.2.2

$4$ と $6$ をたし算します。

$y = - 4 x + 10$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例