微分積分例

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 1.2.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 1.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

ステップ 1.2.6

簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

ステップ 1.2.6.2

項を並べ替えます。

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ の因数を並べ替えます。

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺から $y \sec^{2} (x y)$ を引きます。

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

ステップ 1.5.3

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ の各項を $x \sec^{2} (x y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ の各項を $x \sec^{2} (x y)$ で割ります。

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 1.5.3.2.2

$\sec^{2} (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1.1

$\sec^{2} (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

ステップ 1.7

$y = 0$ と $x = 1$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $0$ で置換えます。

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.3

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ を ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.4

正弦と余弦に関して $\sec ((1) \cdot (0))$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ で割ります。

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.6

簡約します。

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ステップ 1.7.3.6.1

$0$ に $1$ をかけます。

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.6.2

$\cos (0)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1^{2} - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - \frac{0}{1}$

ステップ 1.7.3.9

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - 0$

ステップ 1.7.3.10

$- 1$ に $0$ をかけます。

$1 + 0$

ステップ 1.7.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $1$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$y = x - 1$

ステップ 3

微分積分 例

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