微分積分例

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = - x$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$4 x - x^{2} = - x$

ステップ 1.2

$x$ について $4 x - x^{2} = - x$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.2.1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$4 x - x^{2} + x = 0$

ステップ 1.2.1.2

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$- x^{2} + 5 x = 0$

ステップ 1.2.2

$- x$ を $- x^{2} + 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- x \cdot x + 5 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- x$ を $5 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x - x \cdot - 5 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$- x$ を $- x (x) - x (- 5)$ で因数分解します。

$- x (x - 5) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 5 = 0 + y = - x$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 1.2.6

最終解は $- x (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5$

ステップ 1.3

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = - (0)$

ステップ 1.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 1.4

$x = 5$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$5$ を $x$ に代入します。

$y = - (5)$

ステップ 1.4.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$y = - 5$

ステップ 1.5

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

ステップ 2

$4 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 4 x$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{5} - x d x$

ステップ 4

積分し、 $0$ と $5$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x - (- x) d x$

ステップ 4.2

$- (- x)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} + 4 x + 1 x$

ステップ 4.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + 4 x + x$

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x + x d x$

ステップ 4.3

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 5 x d x$

ステップ 4.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{5} - x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

ステップ 4.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

ステップ 4.6

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

ステップ 4.7

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

ステップ 4.8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 \int_{0}^{5} x d x$

ステップ 4.9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

ステップ 4.10

答えを簡約します。

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ステップ 4.10.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

ステップ 4.10.2

代入し簡約します。

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ステップ 4.10.2.1

$5$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

ステップ 4.10.2.2

$5$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3

簡約します。

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ステップ 4.10.2.3.1

$5$ を $3$ 乗します。

$- (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.2.3.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.2.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{125}{3} - 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- (\frac{125}{3} + 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.5

$\frac{125}{3}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.6

$5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 4.10.2.3.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

ステップ 4.10.2.3.8

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.2.3.8.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

ステップ 4.10.2.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.2.3.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 4.10.2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 4.10.2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

ステップ 4.10.2.3.8.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - 0)$

ステップ 4.10.2.3.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} + 0)$

ステップ 4.10.2.3.10

$\frac{25}{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2})$

ステップ 4.10.2.3.11

$5$ と $\frac{25}{2}$ をまとめます。

$- \frac{125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2}$

ステップ 4.10.2.3.12

$5$ に $25$ をかけます。

$- \frac{125}{3} + \frac{125}{2}$

ステップ 4.10.2.3.13

$- \frac{125}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2}$

ステップ 4.10.2.3.14

$\frac{125}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.10.2.3.15

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.10.2.3.15.1

$\frac{125}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.10.2.3.15.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.10.2.3.15.3

$\frac{125}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.10.2.3.15.4

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{6}$

ステップ 4.10.2.3.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 125 \cdot 2 + 125 \cdot 3}{6}$

ステップ 4.10.2.3.17

分子を簡約します。

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ステップ 4.10.2.3.17.1

$- 125$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 250 + 125 \cdot 3}{6}$

ステップ 4.10.2.3.17.2

$125$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 250 + 375}{6}$

ステップ 4.10.2.3.17.3

$- 250$ と $375$ をたし算します。

$\frac{125}{6}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例