微分積分例

$lim_{x \to 1} x^{\frac{6}{x - 1}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{\frac{6}{x - 1}}$ を $e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$

ステップ 1.2

$\frac{6}{x - 1}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})$ を展開します。

$lim_{x \to 1} e^{\frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{6}{x - 1}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6 \ln (x)}{x - 1}}$

ステップ 2.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{6 \frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{6 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

ステップ 3.1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}$

ステップ 3.1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{6 \frac{0}{1 - 1}}$

ステップ 3.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

ステップ 3.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 4.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 5

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$e^{6 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$6$ に $1$ をかけます。

$e^{6}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{6}$

10進法形式：

$403.42879349 \dots$

微分積分 例

微分積分例