微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 2 + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8.1.3

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot - 2}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.2.8.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{4}}$

ステップ 2.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.3

$- 1$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) - 1 (- x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ を $- 1 (2) - 1 (- x^{2})$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2 - x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 - x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.2

総和則では、 $2 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.7

$0$ から $2 x$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.8

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.9

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.10

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.11.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.8.11.2

$x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.10

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{4 x^{3}}$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.2.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.2.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.2.4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

ステップ 4.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 4.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 4.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 4.3.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 4.3.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 6

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.2.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 6.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 6.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

ステップ 6.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

ステップ 6.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

ステップ 6.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

ステップ 6.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.2

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.5

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

ステップ 8

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ と $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 9.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 9.2

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$\frac{1}{12}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{12 \cdot 2} \cdot 1$

ステップ 9.2.2

$12$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{24} \cdot 1$

ステップ 9.3

$\frac{1}{24}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{24}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{24}$

10進法形式：

$0.041\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例