微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $a$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $a$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.8

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.8.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.8.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.9

$\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.2.9.1

$a$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.9.2

$a$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.9.3

$\cos (a)$ から $\cos (a)$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = a + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $a + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $a + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2

総和則では、 $a + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.3

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (a - x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = a - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $a - x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $a - x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.3

総和則では、 $a - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.4

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.8

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.10

$\sin (a - x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

ステップ 1.4

$- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

ステップ 2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $a$ の極限値を求めます。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

ステップ 2.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

ステップ 2.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

ステップ 2.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $a$ の極限値を求めます。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.1

$a$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

ステップ 4.1.2

$a$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (a) - \sin (a)$

ステップ 4.2

$- \sin (a)$ から $\sin (a)$ を引きます。

$- 2 \sin (a)$

微分積分 例

微分積分例