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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
をに書き換えます。
ステップ 1.2
を対数の外に移動させて、を展開します。
ステップ 2
極限を左側極限として設定します。
ステップ 3
ステップ 3.1
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 3.2
にをかけます。
ステップ 3.3
の厳密値はです。
ステップ 3.4
が未定義なので、極限はありません。
ステップ 4
極限を右側極限として設定します。
ステップ 5
ステップ 5.1
指数に極限を移動させます。
ステップ 5.2
をに書き換えます。
ステップ 5.3
ロピタルの定理を当てはめます。
ステップ 5.3.1
分子と分母の極限値を求めます。
ステップ 5.3.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 5.3.1.2
がに右から近づくとき、は境界がなく減少します。
ステップ 5.3.1.3
がに右から近づくとき、分子が定数で分母がに近づくので、分数は無限大に近づきます。
ステップ 5.3.1.4
無限大割る無限大は未定義です。
未定義
ステップ 5.3.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 5.3.3
分子と分母の微分係数を求めます。
ステップ 5.3.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 5.3.3.2
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 5.3.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 5.3.3.2.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 5.3.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 5.3.3.3
正弦と余弦に関してを書き換えます。
ステップ 5.3.3.4
分数の逆数を掛け、で割ります。
ステップ 5.3.3.5
を分母をもつ分数で書きます。
ステップ 5.3.3.6
簡約します。
ステップ 5.3.3.6.1
式を書き換えます。
ステップ 5.3.3.6.2
にをかけます。
ステップ 5.3.3.7
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 5.3.3.7.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 5.3.3.7.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 5.3.3.7.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 5.3.3.8
とをまとめます。
ステップ 5.3.3.9
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 5.3.3.10
とをまとめます。
ステップ 5.3.3.11
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.3.12
にをかけます。
ステップ 5.3.3.13
簡約します。
ステップ 5.3.3.13.1
分子を簡約します。
ステップ 5.3.3.13.1.1
正弦と余弦に関してを書き換えます。
ステップ 5.3.3.13.1.2
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.3.3.13.1.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 5.3.3.13.1.4
とをまとめます。
ステップ 5.3.3.13.1.5
の共通因数を約分します。
ステップ 5.3.3.13.1.5.1
をで因数分解します。
ステップ 5.3.3.13.1.5.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.3.13.1.5.3
式を書き換えます。
ステップ 5.3.3.13.2
項をまとめます。
ステップ 5.3.3.13.2.1
を積として書き換えます。
ステップ 5.3.3.13.2.2
にをかけます。
ステップ 5.3.3.14
をに書き換えます。
ステップ 5.3.3.15
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.3.16
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 5.3.4
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 5.3.5
とをまとめます。
ステップ 5.4
極限を求めます。
ステップ 5.4.1
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.4.2
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.5
ロピタルの定理を当てはめます。
ステップ 5.5.1
分子と分母の極限値を求めます。
ステップ 5.5.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 5.5.1.2
分子の極限値を求めます。
ステップ 5.5.1.2.1
極限べき乗則を利用して、指数をから極限値外側に移動させます。
ステップ 5.5.1.2.2
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 5.5.1.2.3
を正数乗し、を得ます。
ステップ 5.5.1.3
分母の極限値を求めます。
ステップ 5.5.1.3.1
がに近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。
ステップ 5.5.1.3.2
余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 5.5.1.3.3
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.5.1.3.4
正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 5.5.1.3.5
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.5.1.3.6
すべてのにに代入し、極限値を求めます。
ステップ 5.5.1.3.6.1
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 5.5.1.3.6.2
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 5.5.1.3.7
答えを簡約します。
ステップ 5.5.1.3.7.1
にをかけます。
ステップ 5.5.1.3.7.2
の厳密値はです。
ステップ 5.5.1.3.7.3
にをかけます。
ステップ 5.5.1.3.7.4
にをかけます。
ステップ 5.5.1.3.7.5
の厳密値はです。
ステップ 5.5.1.3.7.6
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 5.5.1.3.8
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 5.5.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 5.5.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 5.5.3
分子と分母の微分係数を求めます。
ステップ 5.5.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 5.5.3.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.5.3.3
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 5.5.3.4
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 5.5.3.4.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 5.5.3.4.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 5.5.3.4.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 5.5.3.5
を乗します。
ステップ 5.5.3.6
を乗します。
ステップ 5.5.3.7
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 5.5.3.8
とをたし算します。
ステップ 5.5.3.9
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 5.5.3.10
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.5.3.11
にをかけます。
ステップ 5.5.3.12
をの左に移動させます。
ステップ 5.5.3.13
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 5.5.3.13.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 5.5.3.13.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 5.5.3.13.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 5.5.3.14
を乗します。
ステップ 5.5.3.15
を乗します。
ステップ 5.5.3.16
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 5.5.3.17
とをたし算します。
ステップ 5.5.3.18
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 5.5.3.19
にをかけます。
ステップ 5.5.3.20
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.5.3.21
にをかけます。
ステップ 5.6
極限を求めます。
ステップ 5.6.1
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.6.2
がに近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。
ステップ 5.6.3
がに近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。
ステップ 5.6.4
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.6.5
極限べき乗則を利用して、指数をから極限値外側に移動させます。
ステップ 5.6.6
余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 5.6.7
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.6.8
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.6.9
極限べき乗則を利用して、指数をから極限値外側に移動させます。
ステップ 5.6.10
正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 5.6.11
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.7
すべてのにに代入し、極限値を求めます。
ステップ 5.7.1
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 5.7.2
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 5.7.3
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 5.8
答えを簡約します。
ステップ 5.8.1
にをかけます。
ステップ 5.8.2
との共通因数を約分します。
ステップ 5.8.2.1
をで因数分解します。
ステップ 5.8.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.8.2.2.1
をで因数分解します。
ステップ 5.8.2.2.2
をで因数分解します。
ステップ 5.8.2.2.3
をで因数分解します。
ステップ 5.8.2.2.4
共通因数を約分します。
ステップ 5.8.2.2.5
式を書き換えます。
ステップ 5.8.3
分母を簡約します。
ステップ 5.8.3.1
にをかけます。
ステップ 5.8.3.2
の厳密値はです。
ステップ 5.8.3.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 5.8.3.4
にをかけます。
ステップ 5.8.3.5
の厳密値はです。
ステップ 5.8.3.6
を正数乗し、を得ます。
ステップ 5.8.3.7
にをかけます。
ステップ 5.8.3.8
とをたし算します。
ステップ 5.8.4
をで割ります。
ステップ 5.8.5
にをかけます。
ステップ 5.9
にべき乗するものはとなります。
ステップ 6
グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。