微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.2

$lim_{x \to 0} 8 x = 0$ なので、 $t$ を $8 x$ に代入し、 $t$ が $0$ に近づくようにします。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \arctan (t)}$

ステップ 1.1.3.3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\arctan (0)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

ステップ 1.3.3

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

ステップ 1.3.3.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

ステップ 1.3.4

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

ステップ 1.3.5

積の法則を $8 (x)$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

ステップ 1.3.6

$8$ を $2$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

ステップ 1.3.7

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 1.3.8

$8$ と $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1}$

ステップ 1.3.10

$\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}}}$

ステップ 1.3.11

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{64 x^{2} + 1}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} 1 \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

ステップ 1.5

$\frac{64 x^{2} + 1}{8}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{8}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} 64 x^{2} + 1$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{8} (lim_{x \to 0} 64 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

ステップ 2.3

$64$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (64 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0^{2} + 1)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0 + 1)$

ステップ 4.1.2

$64$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (0 + 1)$

ステップ 4.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \cdot 1$

ステップ 4.3

$\frac{1}{8}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{8}$

10進法形式：

$0.125$

微分積分 例

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