微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

ステップ 1

分子と分母に $π x$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x)}{\sin (π x) \cdot (π x)}$

ステップ 2

分子と分母に $x$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x) \cdot x}{x \cdot \sin (π x) \cdot (π x)}$

ステップ 3

分数を分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot \frac{x}{π x}$

ステップ 4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づく $\frac{\sin (x)}{x}$ の極限値は $1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.4.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 5.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6

$x$ が $0$ に近づく $\frac{π x}{\sin (π x)}$ の極限値は $1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} π x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$1 \cdot \frac{π lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 \cdot \frac{π \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.2.3

$π$ に $0$ をかけます。

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.3.1.2

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 6.1.3.3.1

$π$ に $0$ をかけます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.4

$π$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.5

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.5.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.5.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.6

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.8

$π$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) π} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.3.9

$\cos (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.4.2

式を書き換えます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.5

$\frac{1}{\cos (π x)}$ を $\sec (π x)$ に変換します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.6

極限を求めます。

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ステップ 6.6.1

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.6.2

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$1 \cdot \sec (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.7

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 \cdot \sec (π \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.8

答えを簡約します。

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ステップ 6.8.1

$π$ に $0$ をかけます。

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 6.8.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 7

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{π}$

ステップ 8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $\frac{1}{π}$ の極限値を求めます。

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{π}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{π}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{π}$

10進法形式：

$0.31830988 \dots$

微分積分 例

微分積分例