微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $\sqrt{1 + 3 x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + 3 x}$ を ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + 3 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + 3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.3

総和則では、 $1 + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.4.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.12

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.13

$0$ と $3$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.14

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.15

$\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.16

$3$ を ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.4.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 1.3.6

$\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{3}$

ステップ 1.5

${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 + 3 x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

ステップ 1.6

$\frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x}$

ステップ 2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 2.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 \cdot 0}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 0}$

ステップ 4.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3} \sqrt{1}$

ステップ 4.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 4.4

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例