微分積分例

$lim_{x \to 0} {(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$ を $e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\ln (\frac{\sin (x)}{x})$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2.2

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ と $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{0^{2}}}$

ステップ 3.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{\sin (x)}{x}$ とします。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{\sin (x)}{x}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{x}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 \frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{x}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.5

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.9

$\frac{x}{\sin (x)}$ に $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.10

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.1

$x$ を $\sin (x) x^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.10.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.10.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.11

項を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{2 x}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

ステップ 3.5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x) \cdot 2 x}}$

ステップ 3.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x \sin (x) \cdot 2}}$

ステップ 3.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x^{1} \sin (x) \cdot 2}}$

ステップ 3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1 + 1} \sin (x) \cdot 2}}$

ステップ 3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x) \cdot 2}}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.6.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.6.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.6.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.2.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

ステップ 5.1.3.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.1.3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.1.3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (0)}}$

ステップ 5.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.5.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0)}}$

ステップ 5.1.3.5.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0}}$

ステップ 5.1.3.5.3

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $x \cos (x) - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.3.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.1

$\cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.5.1.2

$x (- \sin (x))$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.5.2

$x (- \sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

ステップ 5.3.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 5.3.7

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 5.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}}$

ステップ 5.3.9

項を並べ替えます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.5.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.2.5.2

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 6.1.3.8

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.8.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 6.1.3.8.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 6.1.3.8.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 6.1.3.8.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

ステップ 6.1.3.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

ステップ 6.1.3.9.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

ステップ 6.1.3.9.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

ステップ 6.1.3.9.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \sin (0)}}$

ステップ 6.1.3.9.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 0}}$

ステップ 6.1.3.9.1.6

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

ステップ 6.1.3.9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 6.1.3.9.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 6.1.3.10

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 6.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 6.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.6

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.7

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.8

総和則では、 $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.9

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.9.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.9.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.9.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.10

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.10.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}}$

ステップ 6.3.10.2

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

ステップ 6.3.10.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

ステップ 6.3.10.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}}$

ステップ 6.3.10.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x))}}$

ステップ 6.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.1

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 6.3.11.2

$\cos (x) (2 x)$ と $2 x \cos (x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.2.1

$\cos (x)$ を移動させます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 6.3.11.2.2

$2 x \cos (x)$ と $2 x \cos (x)$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 6.3.11.3

項を並べ替えます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.6.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.6.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.6.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.2.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.8

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

ステップ 7.1.3.9

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.1.3.10

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.10.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.1.3.10.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.1.3.10.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.1.3.10.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.1.3.10.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.11.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11.1.4

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11.1.5

$4$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 1 + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11.1.7

$0$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \sin (0)}}$

ステップ 7.1.3.11.1.8

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 7.1.3.11.1.9

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 0}}$

ステップ 7.1.3.11.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

ステップ 7.1.3.11.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 7.1.3.11.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 7.1.3.12

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 7.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 7.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

ステップ 7.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.2

総和則では、 $- x \cos (x) - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.3

$\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.3.2

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.3.5

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.5.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.5.2.3

$- \cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.6

総和則では、 $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.7

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.7.2

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.7.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.7.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.8

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.8.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x \cos (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.8.2

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.8.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.8.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.8.5

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

ステップ 7.3.9

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.9.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

ステップ 7.3.9.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

ステップ 7.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.10.1

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

ステップ 7.3.10.2

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

ステップ 7.3.10.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.10.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

ステップ 7.3.10.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

ステップ 7.3.10.3.3

$- 2 \sin (x) x$ から $4 x \sin (x)$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.10.3.3.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

ステップ 7.3.10.3.3.2

$- 2 x \sin (x)$ から $4 x \sin (x)$ を引きます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

ステップ 7.3.10.3.4

$4 \cos (x)$ と $2 \cos (x)$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

ステップ 8

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.7

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.8

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.10

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.11

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.12

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.13

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

ステップ 8.14

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

ステップ 8.15

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

ステップ 9

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 9.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 9.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 9.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 9.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 9.6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 9.7

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 9.8

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.1.2

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cdot 1}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.1.5

$0$ から $2$ を引きます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot 1 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2.5

$- 6$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot 0 + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2.7

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cos (0)}}$

ステップ 10.2.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cdot 1}}$

ステップ 10.2.9

$6$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6}}$

ステップ 10.2.10

$0$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 6}}$

ステップ 10.2.11

$0$ と $6$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{6}}$

ステップ 10.3

$- 2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{6}}$

ステップ 10.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

ステップ 10.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

ステップ 10.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{3}}$

ステップ 10.4

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})}$

ステップ 10.5

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{2 \cdot 3}}$

ステップ 10.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{6}}$

ステップ 10.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

10進法形式：

$0.84648172 \dots$

微分積分 例

微分積分例