微分積分例

$f (x) = 5 x^{3} - 15 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 x^{3} - 15 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$15 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{2} - 15 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{2} - 15$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{2} - 15$ です。

$15 x^{2} - 15$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{2} - 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{2} - 15 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $15$ を足します。

$15 x^{2} = 15$

ステップ 2.3

$15 x^{2} = 15$ の各項を $15$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$15 x^{2} = 15$ の各項を $15$ で割ります。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{15}{15}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$15$ を $15$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 x^{3} - 15 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$5 {(1)}^{3} - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$5 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$5$ に $1$ をかけます。

$5 - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$5 - 15$

ステップ 4.1.2.2

$5$ から $15$ を引きます。

$- 10$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$5 {(- 1)}^{3} - 15 \cdot - 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$5 \cdot - 1 - 15 \cdot - 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 - 15 \cdot - 1$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 15$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 + 15$

ステップ 4.2.2.2

$- 5$ と $15$ をたし算します。

$10$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 10), (- 1, 10)$

ステップ 5

微分積分 例

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