微分積分例

$lim_{x \to 0} {(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}}$ を $e^{\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{3}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{3}{x} \ln (1 + 4 x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \ln (1 + 4 x)}$

ステップ 2.2

$\frac{3}{x}$ と $\ln (1 + 4 x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (1 + 4 x)}{x}}$

ステップ 2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{3 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{3 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{3 \frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.1.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{3 \frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{3 \frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$e^{3 \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{3 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{3 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{3 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{3 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + 4 x$ とします。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + 4 x$ で置き換えます。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $1 + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [4 x]$ をたし算します。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$4$ と $\frac{1}{1 + 4 x}$ をまとめます。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.9

$\frac{4}{1 + 4 x}$ に $1$ をかけます。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.10

項を並べ替えます。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{4}{4 x + 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{3 \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{3 \cdot 4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}}$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}}$

ステップ 4.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

ステップ 4.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}}$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ に $4$ をかけます。

$e^{12 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$e^{12 \frac{1}{0 + 1}}$

ステップ 6.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$e^{12 (\frac{1}{1})}$

ステップ 6.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$e^{12 (\frac{1}{1})}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

$e^{12 \cdot 1}$

ステップ 6.4

$12$ に $1$ をかけます。

$e^{12}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{12}$

10進法形式：

$162754.79141900 \dots$

微分積分 例

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