微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + x}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sin (x) + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

ステップ 1.4

$1 + \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

ステップ 2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 + \cos (0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 + 1$

ステップ 4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

微分積分 例

微分積分例