微分積分例

$lim_{t \to 3} \frac{t^{2} + 3 t - 18}{t^{2} - 9}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 3} t^{2} + 3 t - 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$t$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 3} t^{2} + lim_{t \to 3} 3 t - lim_{t \to 3} 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} + lim_{t \to 3} 3 t - lim_{t \to 3} 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.3

$3$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 3 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.4

$t$ が $3$ に近づくと定数である $18$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 3 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $t$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} + 3 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.5.2

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 + 9 - 1 \cdot 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$- 1$ に $18$ をかけます。

$\frac{9 + 9 - 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.6.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{18 - 18}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.6.3

$18$ から $18$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$t$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

ステップ 1.1.3.1.3

$t$ が $3$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{0}{9 - 9}$

ステップ 1.1.3.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 3} \frac{t^{2} + 3 t - 18}{t^{2} - 9} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 18]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 18]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $t^{2} + 3 t - 18$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 18]$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 18]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 18]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d t} [3 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 18]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 18]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3 + \frac{d}{d t} [- 18]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.5

$- 18$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 18$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.6

$2 t + 3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $t^{2} - 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3}{2 t + \frac{d}{d t} [- 9]}$

ステップ 1.3.9

$- 9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3}{2 t + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3}{2 t}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 3} \frac{2 t + 3}{t}$

ステップ 2.2

$t$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 2 t + 3}{lim_{t \to 3} t}$

ステップ 2.3

$t$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 2 t + lim_{t \to 3} 3}{lim_{t \to 3} t}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 3}{lim_{t \to 3} t}$

ステップ 2.5

$t$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{t \to 3} t + 3}{lim_{t \to 3} t}$

ステップ 3

すべての $t$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{lim_{t \to 3} t}$

ステップ 3.2

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{3}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \cdot 3 + 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 + 3}{3}$

ステップ 4.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{3}$

ステップ 4.1.3

$3$ を $3 \cdot 2 + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 + 1)}{3}$

ステップ 4.1.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 + 1)}{3 (1)}$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 + 1)}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 1}{1}$

ステップ 4.1.4.4

$2 + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (2 + 1)$

ステップ 4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 3$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{2}$

10進法形式：

$1.5$

微分積分 例

微分積分例