微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.2.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

ステップ 1.1.3.1.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{π - π}$

ステップ 1.1.3.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\tan (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$\sec^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.5.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.5.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $4 x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 1.3.7.3

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 1.3.8

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + 0}$

ステップ 1.3.9

$4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x) \cdot 4}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 2.3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

ステップ 2.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 3

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.2

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.3.5

指数を求めます。

$\frac{1}{4 \frac{2}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4 (\frac{2}{4})}$

ステップ 4.3.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 \frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 4.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.4

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 4.5

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例