微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.1.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

ステップ 1.1.3.1.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{π - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{π - 3 \frac{π}{3}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{0}{π + 3 (- 1) \frac{π}{3}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{0}{π + 3 \cdot - 1 \frac{π}{3}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{0}{π - π}$

ステップ 1.1.3.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $2 \sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $π - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 1.3.7

$π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \cdot 1}$

ステップ 1.3.8.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3}$

ステップ 1.3.9

$0$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{- 3}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{- 3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{- 3} lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

ステップ 2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{2}{- 3} \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

ステップ 3

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{- 3} \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{3} \sqrt{3}$

ステップ 4.4

$\frac{- 1}{3}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$- 0.57735026 \dots$

微分積分 例

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