微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

ステップ 1.1.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{h \to 0} 3 h)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (3 lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 1.1.3.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

ステップ 1.3.3

$f (h) = \sin (h)$ および $g (h) = 3 h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [3 h]}$

ステップ 1.3.3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d h} [3 h]}$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $3 h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \frac{d}{d h} [3 h]}$

ステップ 1.3.4

$3$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $3 h$ の微分係数は $3 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \frac{d}{d h} [h])}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \cdot 3}$

ステップ 1.3.7

$3$ を $\cos (3 h)$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 \cos (3 h)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h)}$

ステップ 2.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{h \to 0} 3 h)}$

ステップ 2.5

$3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ を $\sec (3 \cdot 0)$ に変換します。

$\frac{1}{3} \sec (3 \cdot 0)$

ステップ 4.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \sec (0)$

ステップ 4.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 4.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

微分積分 例

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