微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(1 - \cos (h))}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{{(1 - \cos (lim_{h \to 0} h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

$f (h) = h^{2}$ および $g (h) = 1 - \cos (h)$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - \cos (h)$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - \cos (h)$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $1 - \cos (h)$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

$1$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $\frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [- \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- \cos (h)$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (- \frac{d}{d h} [\cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [\cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8

$h$ に関する $\cos (h)$ の微分係数は $- \sin (h)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) (- \sin (h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.9

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

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ステップ 1.3.10.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (h))) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.2

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.3

項をまとめます。

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ステップ 1.3.10.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) - 2 \cos (h) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.4

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{1}$

ステップ 1.4

$- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} - 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{h \to 0} 2 \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

ステップ 2.2

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

ステップ 2.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

ステップ 2.6

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 lim_{h \to 0} \sin (h)$

ステップ 2.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

ステップ 3

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

ステップ 3.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

ステップ 3.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

ステップ 4.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

ステップ 4.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

ステップ 4.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 + 2 \sin (0)$

ステップ 4.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + 2 \cdot 0$

ステップ 4.1.6

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

微分積分 例

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