微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 7 + h)}^{2} - 49}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 7 + h)}^{2} - 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 7 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(- 7 + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 7 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 7 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 \cdot 7 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $49$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 \cdot 7 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 \cdot 7 + 0)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{{(- 7 + 0)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(- 7)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 7$ を $2$ 乗します。

$\frac{49 - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $49$ をかけます。

$\frac{49 - 49}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$49$ から $49$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 7 + h)}^{2} - 49}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 7 + h)}^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 7 + h)}^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

${(- 7 + h)}^{2}$ を $(- 7 + h) (- 7 + h)$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 7 + h) (- 7 + h) - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- 7 + h) (- 7 + h)$ を展開します。

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ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 7 (- 7 + h) + h (- 7 + h) - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 7 \cdot - 7 - 7 h + h (- 7 + h) - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 7 \cdot - 7 - 7 h + h \cdot - 7 + h \cdot h - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1.1

$- 7$ に $- 7$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 7 h + h \cdot - 7 + h \cdot h - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.2

$- 7$ を $h$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 7 h - 7 \cdot h + h \cdot h - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$h$ に $h$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 7 h - 7 h + h^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 7 h$ から $7 h$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 14 h + h^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $49 - 14 h + h^{2} - 49$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [49] + \frac{d}{d h} [- 14 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49] + \frac{d}{d h} [- 14 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$49$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 14 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d h} [- 14 h]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$- 14$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- 14 h$ の微分係数は $- 14 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7.3

$- 14$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.9

$- 49$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 49$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1.1

$0$ から $14$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{- 14 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.1.2

$- 14 + 2 h$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{- 14 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.2

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 14}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 14}{1}$

ステップ 1.4

$2 h - 14$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} 2 h - 14$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 14$

ステップ 2.2

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 14$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $14$ の極限値を求めます。

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 14$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 14$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$0 - 1 \cdot 14$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $14$ をかけます。

$0 - 14$

ステップ 4.2

$0$ から $14$ を引きます。

$- 14$

微分積分 例

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