微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 6 + h)}^{2} - 36}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 6 + h)}^{2} - 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 6 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(- 6 + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 6 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $36$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + 0)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{{(- 6 + 0)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 6$ を $2$ 乗します。

$\frac{36 - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $36$ をかけます。

$\frac{36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$36$ から $36$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 6 + h)}^{2} - 36}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 6 + h)}^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 6 + h)}^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

${(- 6 + h)}^{2}$ を $(- 6 + h) (- 6 + h)$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 6 + h) (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- 6 + h) (- 6 + h)$ を展開します。

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ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 (- 6 + h) + h (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 \cdot - 6 - 6 h + h (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 \cdot - 6 - 6 h + h \cdot - 6 + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1.1

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h + h \cdot - 6 + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.2

$- 6$ を $h$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h - 6 \cdot h + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$h$ に $h$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h - 6 h + h^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 6 h$ から $6 h$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 12 h + h^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $36 - 12 h + h^{2} - 36$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [36] + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36] + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$36$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d h} [- 12 h]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$- 12$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- 12 h$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.9

$- 36$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1.1

$0$ から $12$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{- 12 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.1.2

$- 12 + 2 h$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{- 12 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.2

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 12}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 12}{1}$

ステップ 1.4

$2 h - 12$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} 2 h - 12$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 12$

ステップ 2.2

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 12$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 12$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 12$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$0 - 1 \cdot 12$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$0 - 12$

ステップ 4.2

$0$ から $12$ を引きます。

$- 12$

微分積分 例

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