微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - (5 x^{3})}{h}$

ステップ 1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.2

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(x + h)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5 x^{3}$ の極限値を求めます。

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3

$5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 x^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.2

$5 x^{3}$ から $5 x^{3}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$5$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $5 {(x + h)}^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.2

$f (h) = h^{3}$ および $g (h) = x + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.3

総和則では、 $x + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.4

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.8

$3$ に $5$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.4

$- 5 x^{3}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 5 x^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.5

$15 {(x + h)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{1}$

ステップ 2.4

$15 {(x + h)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} 15 {(x + h)}^{2}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$15$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$15 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$15 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}$

ステップ 3.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$15 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 3.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$15 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$15 {(x + 0)}^{2}$

ステップ 5

$x$ と $0$ をたし算します。

$15 x^{2}$

微分積分 例

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