微分積分例

$f (x) = 4 x^{2}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h))$

ステップ 2.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 2.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h))$

ステップ 2.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

ステップ 2.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 2.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

ステップ 2.1.2.5

$2$ に $4$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

ステップ 2.1.2.6

最終的な答えは $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ です。

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$4 x^{2}$ を移動させます。

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

ステップ 2.2.2

$8 h x$ と $4 h^{2}$ を並べ替えます。

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (4 x^{2})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.1.1.1

$4 h^{2}$ を ${(2 h)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.1.2

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

ステップ 4.1.1.4

多項式を書き換えます。

$\frac{{(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.1.5

$a = 2 h$ と $b = 2 x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.2

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - {(2 x)}^{2}}{h}$

ステップ 4.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 h + 2 x$ であり、 $b = 2 x$ です。

$\frac{(2 h + 2 x + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

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ステップ 4.1.4.1

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

ステップ 4.1.4.2

$2$ を $2 h + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.4.2.1

$2$ を $2 h$ で因数分解します。

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

ステップ 4.1.4.2.2

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 h + 2 (2 x)) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

ステップ 4.1.4.2.3

$2$ を $2 h + 2 (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - 2 x)}{h}$

ステップ 4.1.5

$2 h + 2 x - 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.5.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 0)}{h}$

ステップ 4.1.5.2

$2 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h)}{h}$

$\frac{2 (h + 2 x) \cdot 2 h}{h}$

ステップ 4.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$4 (h + 2 x)$ を $1$ で割ります。

$4 (h + 2 x)$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$4 h + 4 (2 x)$

ステップ 4.2.3

式を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$2$ に $4$ をかけます。

$4 h + 8 x$

ステップ 4.2.3.2

$4 h$ と $8 x$ を並べ替えます。

$8 x + 4 h$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例