微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$ です。

$\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{{(x + h)}^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}}{h}$

ステップ 4.1.2

因数分解した形で $\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x + h$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{\frac{(x + h + x) (x + h - x)}{2}}{h}$

ステップ 4.1.2.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x + h - x)}{2}}{h}$

ステップ 4.1.2.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (h + 0)}{2}}{h}$

ステップ 4.1.2.2.3

$h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 x + h) h}{2}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{(2 x + h) h}{2} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$h$ を $(2 x + h) h$ で因数分解します。

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x + h}{2}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例