微分積分例

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

ステップ 4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ です。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

ステップ 6

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $- 7$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 \int x^{\frac{3}{4}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ です。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$5 (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$5$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.2

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.3

$20$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 4}{5 (1)} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.3.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.4

$- 7$ と $\frac{4}{7}$ をまとめます。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 7 \cdot 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.5

$- 7$ に $4$ をかけます。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 28}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.6

$- 28$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.6.1

$7$ を $- 28$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.6.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 (1)} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 \cdot 1} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.6.2.3

式を書き換えます。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2.6.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$

微分積分 例

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