微分積分例

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

ステップ 3

$u = 4 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 4 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$4 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 3.1.2

微分します。

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ステップ 3.1.2.1

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 3.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

ステップ 4

$- (- u + 4) u^{2}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

ステップ 4.3

括弧を移動させます。

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

ステップ 4.5

$u$ に $1$ をかけます。

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

ステップ 4.6

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

ステップ 4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

ステップ 4.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

ステップ 4.9

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

ステップ 7

$- 4$ は $u$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

微分積分 例

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