微分積分例

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 5 x) d x$

ステップ 3

$u = 6 + 5 x$ と $d v = \sqrt{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(6 + 5 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

ステップ 4.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 5 d x$

ステップ 4.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $5$ をまとめます。

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3} d x$

ステップ 4.4

$5$ に $2$ をかけます。

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 5

$\frac{10}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{10}{3}$ を積分の外に移動させます。

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{10}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ を $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ に書き換えます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 7.2.2

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{10}{3}$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 10}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 7.2.3

$10$ に $2$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 7.2.4

$5$ に $3$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.5

$5$ を $20 x^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

ステップ 7.2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.6.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

ステップ 7.2.6.2

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 7.2.6.3

式を書き換えます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

ステップ 7.2.7

公分母の分子をまとめます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

ステップ 7.2.8

$10 x^{\frac{5}{2}}$ から $4 x^{\frac{5}{2}}$ を引きます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

ステップ 7.2.9

$3$ を $6 x^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

ステップ 7.2.10

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.10.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

ステップ 7.2.10.2

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

ステップ 7.2.10.3

式を書き換えます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

ステップ 7.2.10.4

$2 x^{\frac{5}{2}}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

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