微分積分例

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 5.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 5.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 7.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

ステップ 8

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

ステップ 10.2.2

$\frac{1}{6}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

ステップ 10.2.3

$9$ と $\frac{x^{6}}{6}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

ステップ 10.2.4

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.4.1

$3$ を $9 x^{6}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

ステップ 10.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.4.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

ステップ 10.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

ステップ 10.2.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

微分積分 例

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