微分積分例

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = 5 \cos (t)$

ステップ 2

方程式を $5 \cos (t) = x$ として書き換えます。

$5 \cos (t) = x$

ステップ 3

$5 \cos (t) = x$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5 \cos (t) = x$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.1.2

$\cos (t)$ を $1$ で割ります。

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

ステップ 4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

ステップ 5

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

ステップ 6

括弧を削除します。

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

ステップ 7

$5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

交点 $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ 、 $(\frac{x}{5}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (\frac{x}{5})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ です。

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

ステップ 7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{5}$ です。

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

ステップ 7.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

ステップ 7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

ステップ 7.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

ステップ 7.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

ステップ 7.3.5

$\frac{5 + x}{5}$ に $\frac{5 - x}{5}$ をかけます。

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

ステップ 7.3.6

$5$ に $5$ をかけます。

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

ステップ 7.4

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ を ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$(5 + x) (5 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

ステップ 7.4.2

$25$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

ステップ 7.4.3

分数 $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

ステップ 7.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

ステップ 7.6

$\frac{1}{5}$ と $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ をまとめます。

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

ステップ 7.7

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

共通因数を約分します。

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

ステップ 7.7.2

式を書き換えます。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

微分積分 例

微分積分例