微分積分例

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

ステップ 1

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

ステップ 2.4.2

$3 x^{2} - 12 x + 9$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} - 12 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

ステップ 3.4.2

$6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 12$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$3 x^{2} - 12 x + 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 12 x + 9$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 12 x + 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$3$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

ステップ 6.2.2

因数分解。

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ステップ 6.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 6.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

ステップ 6.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.6

最終解は $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 3, 1$

ステップ 9

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (3) - 12$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$6$ に $3$ をかけます。

$18 - 12$

ステップ 10.2

$18$ から $12$ を引きます。

$6$

ステップ 11

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 12

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 27 - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

ステップ 12.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 27 - 6 \cdot 9 + 9 (3) + 1$

ステップ 12.2.1.3

$- 6$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 27 - 54 + 9 (3) + 1$

ステップ 12.2.1.4

$9$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 27 - 54 + 27 + 1$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$27$ から $54$ を引きます。

$f (3) = - 27 + 27 + 1$

ステップ 12.2.2.2

$- 27$ と $27$ をたし算します。

$f (3) = 0 + 1$

ステップ 12.2.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (3) = 1$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 13

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (1) - 12$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$6$ に $1$ をかけます。

$6 - 12$

ステップ 14.2

$6$ から $12$ を引きます。

$- 6$

ステップ 15

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 16

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

ステップ 16.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 9 (1) + 1$

ステップ 16.2.1.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 6 + 9 (1) + 1$

ステップ 16.2.1.4

$9$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 6 + 9 + 1$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$1$ から $6$ を引きます。

$f (1) = - 5 + 9 + 1$

ステップ 16.2.2.2

$- 5$ と $9$ をたし算します。

$f (1) = 4 + 1$

ステップ 16.2.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = 5$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$y = 5$

ステップ 17

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ の極値です。

$(3, 1)$ は極小値です

$(1, 5)$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例