微分積分例

$3 x^{3} - 36 x$

ステップ 1

$3 x^{3} - 36 x$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{3} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 36 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$9 x^{2} - 36$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $9 x^{2} - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 18 x + 0$

ステップ 3.3.2

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 x$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$9 x^{2} - 36 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1.1

総和則では、 $3 x^{3} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 5.1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 36 \cdot 1$

ステップ 5.1.3.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} - 36$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $9 x^{2} - 36$ です。

$9 x^{2} - 36$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $9 x^{2} - 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$9 x^{2} - 36 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $36$ を足します。

$9 x^{2} = 36$

ステップ 6.3

$9 x^{2} = 36$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$9 x^{2} = 36$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{36}{9}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$36$ を $9$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 6.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 6.5

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 6.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 6.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 6.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 2, - 2$

ステップ 9

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$18 (2)$

ステップ 10

$18$ に $2$ をかけます。

$36$

ステップ 11

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 12

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 3 {(2)}^{3} - 36 \cdot 2$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 3 \cdot 8 - 36 \cdot 2$

ステップ 12.2.1.2

$3$ に $8$ をかけます。

$f (2) = 24 - 36 \cdot 2$

ステップ 12.2.1.3

$- 36$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 24 - 72$

ステップ 12.2.2

$24$ から $72$ を引きます。

$f (2) = - 48$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- 48$ です。

$y = - 48$

ステップ 13

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$18 (- 2)$

ステップ 14

$18$ に $- 2$ をかけます。

$- 36$

ステップ 15

$x = - 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 16

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

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ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 3 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2$

ステップ 16.2.1.2

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = - 24 - 36 \cdot - 2$

ステップ 16.2.1.3

$- 36$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 24 + 72$

ステップ 16.2.2

$- 24$ と $72$ をたし算します。

$f (- 2) = 48$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$y = 48$

ステップ 17

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x$ の極値です。

$(2, - 48)$ は極小値です

$(- 2, 48)$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

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