微分積分例

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

ステップ 1.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

ステップ 1.2.4.3

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ の因数を並べ替えます。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 2.10

${(x^{2} - 1)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

ステップ 2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 2.11.2

$6$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 2.11.3

$8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ を $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.3.1

$8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ を $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 2.11.3.2

$8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ を $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.3.3

$8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ を $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.4

$6 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.5

${(x^{2} - 1)}^{2}$ を $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.7.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.7.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.7.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.7.1.2

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.7.1.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.7.1.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.7.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.7.2

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.8

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.9.1

$- 2$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.9.2

$8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

ステップ 2.11.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ を展開します。

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.11.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.2.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.3

$8$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.6

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.11.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.6.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.7

$- 16$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.8

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.9

$7$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

ステップ 2.11.11.10

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

ステップ 2.11.12

$- 8 x^{4}$ から $112 x^{4}$ を引きます。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

ステップ 2.11.13

$16 x^{2}$ と $56 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

ステップ 4.1.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

ステップ 4.1.2.4.3

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ です。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.4

${(x^{2} - 1)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

${(x^{2} - 1)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

ステップ 5.4.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

ステップ 5.4.2.1.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.4.2.3

${(x + 1)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

${(x + 1)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.4.2.3.2

$x$ について ${(x + 1)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.4.2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.4.2.4

${(x - 1)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.4.1

${(x - 1)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.4.2.4.2

$x$ について ${(x - 1)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.4.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4.2.4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.4.2.5

最終解は ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 5.5

最終解は $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

ステップ 9.1.2

$56$ に $0$ をかけます。

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

ステップ 9.1.4

$- 120$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

ステップ 9.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

ステップ 9.1.6

$72$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 - 8$

ステップ 9.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 - 8$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 8$

ステップ 9.2.3

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

ステップ 11.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

ステップ 11.2.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (0) = 1$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1

$- 1$ を $6$ 乗します。

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

ステップ 13.1.2

$56$ に $1$ をかけます。

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

ステップ 13.1.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

ステップ 13.1.4

$- 120$ に $1$ をかけます。

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

ステップ 13.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

ステップ 13.1.6

$72$ に $1$ をかけます。

$56 - 120 + 72 - 8$

ステップ 13.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 13.2.1

$56$ から $120$ を引きます。

$- 64 + 72 - 8$

ステップ 13.2.2

$- 64$ と $72$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 13.2.3

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ の区間 $(- \infty, - 1)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$8$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.2.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

ステップ 14.2.2.3

$16$ から $1$ を引きます。

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

ステップ 14.2.2.4

$15$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

ステップ 14.2.2.5

$- 32$ に $3375$ をかけます。

$f' (- 4) = - 108000$

ステップ 14.2.2.6

最終的な答えは $- 108000$ です。

$- 108000$

ステップ 14.3

一次導関数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ の区間 $(- 1, 0)$ から $- 0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1

$8$ に $- 0.5$ をかけます。

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.3.2.2

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

ステップ 14.3.2.3

$0.25$ から $1$ を引きます。

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

ステップ 14.3.2.4

$- 0.75$ を $3$ 乗します。

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

ステップ 14.3.2.5

$- 4$ に $- 0.421875$ をかけます。

$f' (- 0.5) = 1.6875$

ステップ 14.3.2.6

最終的な答えは $1.6875$ です。

$1.6875$

ステップ 14.4

一次導関数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ の区間 $(0, 1)$ から $0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$8$ に $0.5$ をかけます。

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.4.2.2

$0.5$ を $2$ 乗します。

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

ステップ 14.4.2.3

$0.25$ から $1$ を引きます。

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

ステップ 14.4.2.4

$- 0.75$ を $3$ 乗します。

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

ステップ 14.4.2.5

$4$ に $- 0.421875$ をかけます。

$f' (0.5) = - 1.6875$

ステップ 14.4.2.6

最終的な答えは $- 1.6875$ です。

$- 1.6875$

ステップ 14.5

一次導関数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.1

$8$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 14.5.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

ステップ 14.5.2.3

$16$ から $1$ を引きます。

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

ステップ 14.5.2.4

$15$ を $3$ 乗します。

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

ステップ 14.5.2.5

$32$ に $3375$ をかけます。

$f' (4) = 108000$

ステップ 14.5.2.6

最終的な答えは $108000$ です。

$108000$

ステップ 14.6

$x = - 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 1$ は極小値です。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 14.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 14.8

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 1$ は極小値です。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 14.9

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ の極値です。

$x = - 1$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

$x = - 1$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例