微分積分例

$f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) ((x - 3) (x - 3))]$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.3.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

ステップ 1.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 6 x + 9)]$

ステップ 1.4

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 6 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5.3

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5.5

$- 6$ に $1$ をかけます。

$(x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5.6

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5.7

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.5.8

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.5.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.5.10

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

ステップ 1.5.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

ステップ 1.5.11.2

$x^{2} - 6 x + 9$ に $1$ をかけます。

$(x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.6

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.7

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.8

$- 4 x$ から $6 x$ を引きます。

$2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

ステップ 1.6.4.10

$- 10 x$ から $6 x$ を引きます。

$3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

ステップ 1.6.4.11

$12$ と $9$ をたし算します。

$3 x^{2} - 16 x + 21$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 16 x + 21$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [21]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 2.3.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$21$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $21$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x - 16$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 16$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) ((x - 3) (x - 3)))$

ステップ 4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3)))$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)))$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

ステップ 4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

ステップ 4.1.3.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3))$

ステップ 4.1.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9))$

ステップ 4.1.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

ステップ 4.1.4

$f' (x) = (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 6 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f' (x) = (x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5.3

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5.5

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5.6

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5.7

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

ステップ 4.1.5.8

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 4.1.5.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 4.1.5.10

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

ステップ 4.1.5.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

ステップ 4.1.5.11.2

$x^{2} - 6 x + 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.6

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.7

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.8

$- 4 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

ステップ 4.1.6.4.10

$- 10 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

ステップ 4.1.6.4.11

$12$ と $9$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 21$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 16 x + 21$ です。

$3 x^{2} - 16 x + 21$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

ステップ 5.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 21 = 63$ で和が $b = - 16$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 16$ を $- 7$ プラス $- 9$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 7 - 9) x + 21 = 0$

ステップ 5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 9 x + 21 = 0$

ステップ 5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 7 x) - 9 x + 21 = 0$

ステップ 5.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 7) - 3 (3 x - 7) = 0$

ステップ 5.2.3

最大公約数 $3 x - 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 7) (x - 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 5.4

$3 x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$3 x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 7 = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $3 x - 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$3 x = 7$

ステップ 5.4.2.2

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{3}$

ステップ 5.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.6

最終解は $(3 x - 7) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{7}{3}, 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{7}{3}, 3$

ステップ 8

$x = \frac{7}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{7}{3}) - 16$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{7}{3} - 16$

ステップ 9.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 16$

ステップ 9.1.1.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 7 - 16$

ステップ 9.1.2

$2$ に $7$ をかけます。

$14 - 16$

ステップ 9.2

$14$ から $16$ を引きます。

$- 2$

ステップ 10

$x = \frac{7}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{7}{3}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{7}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{7}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{7}{3}) = ((\frac{7}{3}) - 2) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

ステップ 11.2.2

$- 2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

ステップ 11.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 6}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

ステップ 11.2.4.2

$7$ から $6$ を引きます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

ステップ 11.2.5

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

ステップ 11.2.6

$- 3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 11.2.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 11.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.8.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 9}{3})}^{2}$

ステップ 11.2.8.2

$7$ から $9$ を引きます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{- 2}{3})}^{2}$

ステップ 11.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}$

ステップ 11.2.10

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.10.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2})$

ステップ 11.2.10.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

ステップ 11.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.11.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

ステップ 11.2.11.2

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}}$

ステップ 11.2.12

まとめる。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

ステップ 11.2.13

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.13.1

$3$ に $3^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.13.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

ステップ 11.2.13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{1 + 2}}$

ステップ 11.2.13.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{3}}$

ステップ 11.2.14

$2^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{3}}$

ステップ 11.2.15

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{3^{3}}$

ステップ 11.2.16

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{27}$

ステップ 11.2.17

最終的な答えは $\frac{4}{27}$ です。

$y = \frac{4}{27}$

ステップ 12

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (3) - 16$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$6$ に $3$ をかけます。

$18 - 16$

ステップ 13.2

$18$ から $16$ を引きます。

$2$

ステップ 14

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 15

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = ((3) - 2) {((3) - 3)}^{2}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$3$ から $2$ を引きます。

$f (3) = 1 {((3) - 3)}^{2}$

ステップ 15.2.2

${((3) - 3)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (3) = {((3) - 3)}^{2}$

ステップ 15.2.3

$3$ から $3$ を引きます。

$f (3) = 0^{2}$

ステップ 15.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (3) = 0$

ステップ 15.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 16

$f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$ の極値です。

$(\frac{7}{3}, \frac{4}{27})$ は極大値です

$(3, 0)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例