微分積分例

$f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x - 6$ および $g (x) = x^{2} - 12 x - 72$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x - 72] + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 12 x - 72$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ です。

$(x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2.3

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2.5

$- 12$ に $1$ をかけます。

$(x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2.6

$- 72$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 72$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2.7

$2 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2.8

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 1.2.10

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

ステップ 1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

ステップ 1.2.11.2

$x^{2} - 12 x - 72$ に $1$ をかけます。

$(x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.5

$2$ に $- 6$ をかけます。

$2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.6

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.7

$- 6$ に $- 12$ をかけます。

$2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.8

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

ステップ 1.3.4.10

$- 24 x$ から $12 x$ を引きます。

$3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

ステップ 1.3.4.11

$72$ から $72$ を引きます。

$3 x^{2} - 36 x + 0$

ステップ 1.3.4.12

$3 x^{2} - 36 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 36 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 36 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 36$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 36 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f' (x) = (x - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x - 72) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 12 x - 72$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ です。

$f' (x) = (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2.3

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2.5

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2.6

$- 72$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 72$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2.7

$2 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

ステップ 4.1.2.8

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))$

ステップ 4.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))$

ステップ 4.1.2.10

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

ステップ 4.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

ステップ 4.1.2.11.2

$x^{2} - 12 x - 72$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.5

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.6

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.7

$- 6$ に $- 12$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.8

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

ステップ 4.1.3.4.10

$- 24 x$ から $12 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

ステップ 4.1.3.4.11

$72$ から $72$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 0$

ステップ 4.1.3.4.12

$3 x^{2} - 36 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 36 x$ です。

$3 x^{2} - 36 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 36 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 36 x = 0$

ステップ 5.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 36 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 36 x = 0$

ステップ 5.2.2

$3 x$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 12) = 0$

ステップ 5.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 12)$ で因数分解します。

$3 x (x - 12) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 12 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 12$ が $0$ に等しいとします。

$x - 12 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

ステップ 5.6

最終解は $3 x (x - 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 12$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 12$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (0) - 36$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$6$ に $0$ をかけます。

$0 - 36$

ステップ 9.2

$0$ から $36$ を引きます。

$- 36$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = ((0) - 6) ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ から $6$ を引きます。

$f (0) = - 6 ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 6 (0 - 12 \cdot 0 - 72)$

ステップ 11.2.2.2

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - 6 (0 + 0 - 72)$

ステップ 11.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - 6 (0 - 72)$

ステップ 11.2.3.2

$0$ から $72$ を引きます。

$f (0) = - 6 \cdot - 72$

ステップ 11.2.3.3

$- 6$ に $- 72$ をかけます。

$f (0) = 432$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $432$ です。

$y = 432$

ステップ 12

$x = 12$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (12) - 36$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$6$ に $12$ をかけます。

$72 - 36$

ステップ 13.2

$72$ から $36$ を引きます。

$36$

ステップ 14

$x = 12$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 12$ は極小値です

ステップ 15

$x = 12$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $12$ で置換えます。

$f (12) = ((12) - 6) ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$12$ から $6$ を引きます。

$f (12) = 6 ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

ステップ 15.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$12$ を $2$ 乗します。

$f (12) = 6 (144 - 12 \cdot 12 - 72)$

ステップ 15.2.2.2

$- 12$ に $12$ をかけます。

$f (12) = 6 (144 - 144 - 72)$

ステップ 15.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$144$ から $144$ を引きます。

$f (12) = 6 (0 - 72)$

ステップ 15.2.3.2

$0$ から $72$ を引きます。

$f (12) = 6 \cdot - 72$

ステップ 15.2.3.3

$6$ に $- 72$ をかけます。

$f (12) = - 432$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $- 432$ です。

$y = - 432$

ステップ 16

$f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$ の極値です。

$(0, 432)$ は極大値です

$(12, - 432)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例