微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $x^{2} - 16$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 16) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.2

$2$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.3.2

$2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.3.2.2

$- 32 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.6.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

ステップ 1.6.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$- \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

ステップ 1.6.5.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.2

${(x + 4)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$f (x) = {(x + 4)}^{2}$ および $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - 4$ とします。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2$ を ${(x + 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 4$ とします。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$2$ を ${(x - 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.5.3

$- 32$ と $\frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(32) ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

積の法則を ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ に当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) - x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.1

$32 (x + 4) (x - 4)$ を $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.1.1

$32 (x + 4) (x - 4)$ を $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.1.2

$32 (x + 4) (x - 4)$ を $32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.1.3

$32 (x + 4) (x - 4)$ を $32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.1.4

$32 (x + 4) (x - 4)$ を $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4)))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.1.5

$32 (x + 4) (x - 4)$ を $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4)) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.3.1.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x (x - 4) + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.1.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.2

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.3.2.1

$x \cdot - 4$ と $4 x$ について因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.2.2

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.2.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.3.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.3.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.3.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.6

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.8

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.3.8.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.3.9

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.4

$x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.4.1

$- 8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.4.2

$x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.5

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- x^{2} - 16 - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.4.6

$- x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.5.1

${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.5.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9.5.2

${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.9.5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 2.9.5.3

$x + 4$ と ${(x + 4)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.5.3.1

$x + 4$ を $32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 2.9.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.5.3.2.1

$x + 4$ を ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

ステップ 2.9.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

ステップ 2.9.5.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{(32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 2.9.5.4

$x - 4$ と ${(x - 4)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.5.4.1

$x - 4$ を $32 (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 2.9.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.5.4.2.1

$x - 4$ を ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

ステップ 2.9.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

ステップ 2.9.5.4.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 2.9.6

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 2.9.7

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 2.9.8

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 2.9.9

$- (3 x^{2} + 16)$ を $- 1 (3 x^{2} + 16)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{32 (- 1 (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 2.9.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 2.9.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}})$

ステップ 2.9.12

$\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を $x^{2} - 16$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.3.1.2

$2$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.3.2

$2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.3.2.2

$- 32 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.6.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.6.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

ステップ 4.1.6.5.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ です。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$32 x = 0$

ステップ 5.3

$32 x = 0$ の各項を $32$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$32 x = 0$ の各項を $32$ で割ります。

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{32}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ を $32$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.2

${(x + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

${(x + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.2.2

$x$ について ${(x + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 6.2.2.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 6.2.3

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.3.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 6.2.3.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 6.2.4

最終解は ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 6.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 4, x = 4$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{32 (3 {(0)}^{2} + 16)}{{((0) + 4)}^{3} {((0) - 4)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{32 (3 \cdot 0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{32 (0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

$0$ と $16$ をたし算します。

$\frac{32 \cdot 16}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ を $- 1 (0)$ に書き換えます。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 (0) + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot (0 - 4))}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.4

積の法則を $- 1 \cdot (0 - 4)$ に当てはめます。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.6

指数を足して ${(0 - 4)}^{3}$ に ${(0 - 4)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.6.1

${(0 - 4)}^{3}$ を移動させます。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot ({(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3})}$

ステップ 9.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3 + 3}}$

ステップ 9.2.6.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

ステップ 9.3

$32$ に $16$ をかけます。

$\frac{512}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

ステップ 9.4

分母を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{512}{- 1 {(- 4)}^{6}}$

ステップ 9.4.2

$- 4$ を $6$ 乗します。

$\frac{512}{- 1 \cdot 4096}$

ステップ 9.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.5.1

$- 1$ に $4096$ をかけます。

$\frac{512}{- 4096}$

ステップ 9.5.2

$512$ と $- 4096$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.2.1

$512$ を $512$ で因数分解します。

$\frac{512 (1)}{- 4096}$

ステップ 9.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.2.2.1

$512$ を $- 4096$ で因数分解します。

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

ステップ 9.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

ステップ 9.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 8}$

ステップ 9.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 16}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 - 16}$

ステップ 11.2.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 16}$

ステップ 11.2.3

$0$ を $- 16$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例