微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{x} + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.8

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.10

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.3.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

ステップ 2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 2.6

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $\frac{1}{x} + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

ステップ 4.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ です。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, x^{2}, 1$

ステップ 5.2.2

$x, x^{2}, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 1, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{1}, x^{2}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 5.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 5.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 5.2.5

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 5.2.6

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x^{1} = x$

$x$ は $1$ 回発生します。

ステップ 5.2.7

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ は $2$ 回発生します。

ステップ 5.2.8

$x^{1}, x^{2}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x$

ステップ 5.2.9

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x - 1 = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 6.2

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.3.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.3.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9.1.2.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- 1 + \frac{2}{1}$

ステップ 9.1.5

$2$ を $1$ で割ります。

$- 1 + 2$

ステップ 9.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$1$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{1} + \ln (1)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$1$ を $1$ で割ります。

$f (1) = 1 + \ln (1)$

ステップ 11.2.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = 1 + 0$

ステップ 11.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (1) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$ の極値です。

$(1, 1)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例