微分積分例

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $a x^{2} + b x + c$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x^{2}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.2.3

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [b x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $b x$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.3.3

$b$ に $1$ をかけます。

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.4

$c$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $c$ の微分係数は $0$ です。

$2 a x + b + 0$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2 a x + b$ と $0$ をたし算します。

$2 a x + b$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$b + 2 a x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $b + 2 a x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

ステップ 2.1.2

$b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 a x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2 a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 a x$ の微分係数は $2 a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 2 a$

ステップ 2.3

$0$ と $2 a$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 a$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$b + 2 a x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $a x^{2} + b x + c$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x^{2}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [b x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $b x$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 4.1.3.3

$b$ に $1$ をかけます。

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 4.1.4

$c$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $c$ の微分係数は $0$ です。

$2 a x + b + 0$

ステップ 4.1.5

簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$2 a x + b$ と $0$ をたし算します。

$2 a x + b$

ステップ 4.1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = b + 2 a x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $b + 2 a x$ です。

$b + 2 a x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $b + 2 a x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$b + 2 a x = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $b$ を引きます。

$2 a x = - b$

ステップ 5.3

$2 a x = - b$ の各項を $2 a$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 a x = - b$ の各項を $2 a$ で割ります。

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 5.3.2.2

$a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 5.3.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{b}{2 a}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{b}{2 a}$

ステップ 8

$x = - \frac{b}{2 a}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 a$

ステップ 9

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例