微分積分例

$f (x) = 2 e^{- x^{4}}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{- x^{4}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{4}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- x^{4}$ で置き換えます。

$2 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 e^{- x^{4}} x^{3}$

ステップ 3.4.2

$- 8 e^{- x^{4}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$- 8 x^{3} e^{- x^{4}}$

微分積分 例